Օգտակար խորհուրդներ

Արմատների արդյունահանում. Մեթոդներ, օրինակներ, լուծումներ

Pin
Send
Share
Send
Send


14 դեկտեմբերի, 2012 թ

Բավականին հաճախ, խնդիրները լուծելիս մենք հանդիպում ենք մեծ թվով, որից պետք է արդյունահանենք քառակուսի արմատ. Շատ ուսանողներ որոշում են, որ դա սխալ է և սկսում են վերաշարադրել ամբողջ օրինակը: Ոչ մի դեպքում չպետք է անեք դա: Դրա համար կա երկու պատճառ.

  1. Մեծ թվերի արմատներն իսկապես հայտնաբերված են առաջադրանքներում: Հատկապես տեքստում,
  2. Կա մի ալգորիթմ, որով այդ արմատները համարվել են գրեթե բանավոր:

Այս ալգորիթմը մենք այսօր կքննարկենք: Միգուցե որոշ բաներ ձեզ համար անհասկանալի են թվում: Բայց եթե ուշադրություն դարձնեք այս դասին, դուք կստանաք հզոր զենք ընդդեմ քառակուսի արմատները.

  1. Արմատը վերևից և ներքևից սահմանափակելով 10-ով բազմապատկածով: Այսպիսով, մենք կիջեցնենք որոնման շրջանակը մինչև 10 թվերի,
  2. Այս 10 համարներից զերծ մնացե՛ք դրանք, որոնք, իհարկե, չեն կարող արմատավորվել: Արդյունքում կմնան 1-2 թվեր,
  3. Այս 1-2 թվերը քառակուսիով քառակուսի դնել: Դրանցից, որի քառակուսուն հավասար է բնօրինակին, կլինի արմատը:

Այս ալգորիթմը գործնականում գործածելուց առաջ եկեք նայենք յուրաքանչյուր առանձին քայլի:

Արմատների սահմանափակումը

Առաջին հերթին մենք պետք է պարզենք, թե որ թվերի միջև է գտնվում մեր արմատը: Շատ ցանկալի է, որ համարները տասը բազմապատկեն:

10 2 = 100,
20 2 = 400,
30 2 = 900,
40 2 = 1600,
.
90 2 = 8100,
100 2 = 10 000.

Մենք ստանում ենք մի շարք համարներ.

100, 400, 900, 1600, 2500, 3600, 4900, 6400, 8100, 10 000.

Ի՞նչ են մեզ տալիս այդ թվերը: Դա պարզ է. Մենք ստանում ենք սահմանները: Օրինակ ՝ վերցրեք 1296 թիվը: Այն գտնվում է 900-ից 1600-ի միջև: Հետևաբար, դրա արմատը չի կարող լինել 30-ից ցածր և 40-ից ավելին:

[Վերնագիր]

Նույնը վերաբերում է ցանկացած այլ համարի, որից պետք է գտնել քառակուսի արմատը: Օրինակ ՝ 3364:

[Վերնագիր]

Այսպիսով, անհասկանալի համարի փոխարեն մենք ստանում ենք շատ յուրահատուկ տիրույթ, որում կայանում է բուն արմատը: Ձեր որոնումը հետագայում ավելի նեղացնելու համար անցեք երկրորդ քայլը:

Ակնհայտորեն լրացուցիչ թվերի վերացում

Այսպիսով, մենք ունենք 10 համար `արմատային թեկնածու: Մենք դրանք շատ արագ ստացանք ՝ առանց բարդ արտացոլումների և բազմապատկումների սյունակում: Ժամանակն է առաջ շարժվել:

Մի հավատացեք, բայց հիմա մենք կկրճատվենք թեկնածուների համարների թիվը երկու և կրկին ՝ առանց որևէ բարդ հաշվարկի: Բավական է հատուկ կանոն իմանալ: Ահա.

Հրապարակի վերջին նիշը կախված է միայն վերջին նիշից բնօրինակ համարը.

Այլ կերպ ասած, պարզապես նայեք հրապարակի վերջին թվանշանին, և մենք անմիջապես կհասկանանք, թե ինչով է ավարտվում սկզբնական համարը:

Կան ընդամենը 10 թվանշաններ, որոնք կարող են լինել վերջին տեղում: Փորձենք պարզել, թե ինչի են վերածվում դրանք քառակուսի անելիս: Նայեք սեղանին.

1234567890
1496569410

Այս աղյուսակը ևս մեկ քայլ է արմատը հաշվարկելու ուղղությամբ: Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ տողի թվերը սիմետրիկ էին, քան հինգը: Օրինակ ՝

2 2 = 4,
8 2 = 64 → 4.

Ինչպես տեսնում եք, վերջին թվանշանը երկու դեպքում էլ նույնն է: Եվ սա նշանակում է, որ, օրինակ, 3364-ի արմատն անպայման ավարտվում է 2-ով կամ 8-ով: Մյուս կողմից, մենք հիշում ենք նախորդ պարբերությունից սահմանափակումը: Մենք ստանում ենք.

[Վերնագիր]

Կարմիր հրապարակները ցույց են տալիս, որ մենք դեռ չգիտենք այս ցուցանիշը: Բայց արմատն ընկած է 50-ից 60-ի սահմաններում, որի վրա ընդամենը 2 թվերն են, որոնք ավարտվում են 2-ին և 8-ին.

[Վերնագիր]

Դա բոլորն են: Բոլոր հնարավոր արմատներից մենք թողեցինք ընդամենը երկու տարբերակ: Եվ սա ամենավատ դեպքերում է, քանի որ վերջին թվանշանը կարող է լինել 5 կամ 0. Եվ այդ դեպքում արմատների միակ թեկնածուն կլինի:

Վերջնական հաշվարկներ

Այսպիսով, մեզ մնում է 2 թեկնածուի համար: Ինչպե՞ս պարզել, թե որն է արմատը: Պատասխանը ակնհայտ է. Քառակուսի երկու համարները: Այն, որ քառակուսի է տալիս սկզբնական համարը, կլինի արմատը:

Օրինակ ՝ 3364 համարի համար մենք գտանք երկու թեկնածուի համար ՝ 52 և 58:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704,
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Դա բոլորն են: Պարզվել է, որ արմատը 58 է: Միևնույն ժամանակ, հաշվարկները պարզեցնելու համար ես օգտագործեցի գումարի և տարբերության քառակուսիների բանաձևը: Դրա շնորհիվ դուք նույնիսկ կարիք չունեիք թվերը բազմապատկել սյունակում: Սա հաշվարկների օպտիմիզացման ևս մեկ մակարդակ է, բայց, իհարկե, ամբողջովին ընտրովի :)

Արմատների հաշվարկի օրինակներ

Տեսությունը, իհարկե, լավն է: Բայց եկեք գործնականում փորձարկենք:

Մարտահրավեր: Հաշվարկել քառակուսի արմատը.

[Վերնագիր]

Նախ պարզեք, թե որ թվերի միջև է ընկած թիվը 576:

Հիմա նայեք վերջին թվանշանին: 6. Երբ է դա տեղի ունենում: Միայն եթե արմատն ավարտվում է 4-ով կամ 6-ով: Մենք ստանում ենք երկու համար:

Մնում է քառակուսի յուրաքանչյուր համարը և համեմատել բնօրինակի հետ.

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Հիանալի: Առաջին հրապարակը պարզվեց, որ հավասար է բնօրինակին: Այսպիսով, սա է արմատը:

Մարտահրավեր: Հաշվարկել քառակուսի արմատը.

[Վերնագիր]

Այսուհետ ես կգրեմ միայն հիմնական քայլերը: Այսպիսով, սահմանափակեք թիվը:

Մենք նայում ենք վերջին թվանշանին.

Քառակուսի:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369,
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Մարտահրավեր: Հաշվարկել քառակուսի արմատը.

[Վերնագիր]

Մենք նայում ենք վերջին թվանշանին.

Քառակուսի:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704,

Ստացել է պատասխանը ՝ 52. Այլևս հարկ չկա երկրորդ համարը քառակուսի:

Մարտահրավեր: Հաշվարկել քառակուսի արմատը.

[Վերնագիր]

Մենք նայում ենք վերջին թվանշանին.

Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ քայլից հետո մնում է ընդամենը մեկ տարբերակ ՝ 65. Սա է ցանկալի արմատը: Բայց եկեք դեռ հրապարակենք այն և ստուգենք.

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225,

Ամեն ինչ ճիշտ է: Մենք գրում ենք պատասխանը:

Եզրակացություն

Շատերն են հարցնում. Ինչու ընդհանրապես նման արմատներ վերցնել: Արդյո՞ք ավելի լավ չէ հաշվիչ վերցնել և չհամարձակեցնել ուղեղը:

Ավաղ, ավելի լավ չէ: Եկեք քննարկենք պատճառները: Դրանցից երկուսը կան.

  • Արգելվում է հաշվարկներ օգտագործել սովորական մաթեմատիկական քննության ժամանակ `լինի դա պետական ​​ակադեմիական քննություն, թե միասնական պետական ​​քննություն: Իսկ դասարան բերված հաշվիչի համար նրանք կարող են հեշտությամբ դուրս հանել քննությունից:
  • Մի եղեք հիմար ամերիկացիների նման: Որոնք արմատների նման չեն. Դրանք չեն կարող ավելացնել երկու հիմնական համարներ: Եվ ֆրակցիաների տեսադաշտում նրանք հիմնականում սկսում են տհաճություն ունենալ:

Ընդհանրապես, սովորեք հաշվել: Եվ ամեն ինչ լավ կլինի: Հաջողություն

Ի՞նչ է նշանակում «արմատից արդյունահանում»:

Մենք ներկայացնում ենք արմատների արդյունահանման հայեցակարգը:

Արմատների արդյունահանում կոչվում է գտնել արմատային արժեքը:

Այսպիսով, n-րդ աստիճանի արմատը a թվից հանելը բ համարի գտածո է, որի nth աստիճանը հավասար է a- ին: Երբ այդպիսի թիվ b է հայտնաբերվել, կարելի է պնդել, որ մենք հանեցինք արմատը:

Նկատի ունեցեք, որ «արմատից կորզումը» և «արմատային արժեք գտնելը» արտահայտությունները հավասարապես օգտագործվում են:

Ե՞րբ է արդյունահանվում արմատը:

Ասում են, որ ա վերցված է հաստատերբ արմատական ​​համարը a- ն կարող է ներկայացվել որպես որոշ քանակի b- ի n ուժ: Օրինակ, խորանարդի արմատը արդյունահանվում է 8 համարից, քանի որ 8 համարը կարող է ներկայացվել որպես թիվ 2 խորանարդ: Նմանապես, քառակուսի արմատը հանվում է տասնորդական 1.21-ից, քանի որ 1.21 = (1,1) 2 է:

Եթե ​​a- ի արմատային թիվը ներկայացված չէ b որոշակի որոշակիության n- ի ուժի տեսքով, ապա նրանք ասում են, որ a- ից nth ուժի արմատը չի արդյունահանվում: Այս դեպքում կամ արմատային նշանի հետ գրավոր արտահայտությունն իմաստ չունի իրական թվերի հավաքածուի վրա (օրինակ, կամ), կամ գրավոր արտահայտությունն իմաստ ունի, բայց այդպիսի արմատից միայն մոտավոր արժեք կարող է ձեռք բերել մինչև ցանկացած տասնորդական տեղը: Որպես օրինակ ենք բերում: 2-րդ համարի քառակուսի արմատը չի արդյունահանվում, այնուամենայնիվ, դրա մոտավոր արժեքը կարելի է ճշգրիտ գտնել ցանկացած տասնորդական վայրի համար, օրինակ, (մենք կքննարկենք նման արմատների արժեքները գտնելու մեթոդը սույն հոդվածի վերջին պարբերությունում):

Արմատների արդյունահանման մեթոդներ և օրինակներ

Ժամանակն է դուրս գալ արմատների արդյունահանման մեթոդներ. Դրանք հիմնված են արմատների հատկությունների վրա, մասնավորապես ՝ հավասարության վրա, ինչը վավեր է ցանկացած ոչ բացասական համարի համար b.

Ստորև մենք կանդրադառնանք արմատները հանելու հիմնական մեթոդներին:

Սկսենք ամենապարզ դեպքից `արմատները բնական թվերից հանելով ՝ օգտագործելով քառակուսի սեղան, խորանարդի սեղան և այլն: Ստուգեք ...

Եթե ​​սեղանները հրապարակներ են, խորանարդներ և այլն: Եթե ​​դա ձեռքի տակ չէ, ապա տրամաբանական է օգտագործել արմատը հանելու եղանակը, որը ներառում է արմատական ​​համարը հիմնական գործոններով տրոհելը: Գնացեք այս մեթոդի ուսումնասիրությանը ...

Մենք նաև պետք է անդրադառնանք արմատը բացասական թվից հանելու վրա, ինչը հնարավոր է տարօրինակ էքսպոզիցիաներով արմատներով:

Հաջորդը, մենք վերլուծելու ենք արմատը կոտորակային համարից, մասնավորապես, սովորական կոտորակից, տասնորդական կոտորակից և խառնածին թվից: Անցեք այս բաժին ...

Վերջապես, մենք համարում ենք մի մեթոդ, որը թույլ է տալիս հաջորդաբար գտնել արմատային արժեքի թվանշանները: Ուսումնասիրել ...

Օգտագործելով հրապարակների սեղան, խորանարդի սեղան և այլն:

Ամենապարզ դեպքերում քառակուսի, խորանարդի և այլն սեղաններ թույլ են տալիս արմատներ հանել: Որոնք են այս սեղանները:

0-ից մինչև 99 ներառական թվերի հրապարակների աղյուսակը (այն ներկայացված է ստորև) բաղկացած է երկու գոտուց: Սեղանի առաջին գոտին գտնվում է մոխրագույն ֆոնի վրա, այն թույլ է տալիս կատարել 0-ից մինչև 99 թիվը `ընտրելով հատուկ շարք և որոշակի սյուն: Օրինակի համար մենք կընտրենք 8 տողի տող և 3 միավորից բաղկացած սյունակ, դրանով մենք հաստատեցինք թիվը 83: Երկրորդ գոտին զբաղեցնում է սեղանի մնացած մասը: Նրա յուրաքանչյուր բջիջ գտնվում է որոշակի շարքի և որոշակի սյունակի խաչմերուկում և պարունակում է համապատասխան համարի քառակուսի ՝ 0-ից մինչև 99: Մենք ընտրեցինք 8 տասնյակ տողի շարքի խաչմերուկում և 3 միավորի սյունակում, կա 6,889 համարի մի բջիջ, որը 83 համարի քառակուսի է:

Սեղանների խորանարդները, չորրորդ աստիճանի թվերի սեղաններ 0-ից 99-ը և այլն, նման են հրապարակների սեղանին, միայն նրանք երկրորդ գոտում պարունակում են խորանարդներ, չորրորդ աստիճաններ և այլն: համապատասխան համարներ:

Սեղաններ հրապարակներ, խորանարդներ, չորրորդ աստիճաններ և այլն: թույլ են տալիս արդյունահանել քառակուսի արմատներ, խորանարդ արմատներ, չորրորդ աստիճանի արմատներ և այլն: համապատասխանաբար, այս աղյուսակների թվերից: Եկեք բացատրենք դրանց օգտագործման սկզբունքը արմատները հանելիս:

Ենթադրենք, որ մենք պետք է հանենք nth աստիճանի արմատը a- ից, իսկ a թիվը ներառված է nth աստիճանների աղյուսակում: Այս աղյուսակից մենք գտնում ենք մի շարք b, որ a = b n: Հետո, հետևաբար, b թիվը կլինի րդ ուժի ցանկալի արմատը:

Որպես օրինակ ՝ մենք ցույց ենք տալիս, թե ինչպես օգտագործել խորանարդի սեղանը ՝ 19.683 խորանարդ արմատը հանելու համար: 19 683 համարը մենք գտնում ենք խորանարդի աղյուսակում, դրանից մենք գտնում ենք, որ այս թիվը 27 համարի խորանարդ է, հետևաբար:

Պարզ է, որ 9-րդ աստիճանների աղյուսակները շատ հարմար են արմատները հանելու համար: Այնուամենայնիվ, նրանք հաճախ ձեռքի տակ չեն, և դրանց պատրաստումը պահանջում է որոշակի ժամանակ: Ավելին, հաճախ անհրաժեշտ է արմատները հանել այն թվերից, որոնք չեն պարունակվում համապատասխան աղյուսակներում: Այս դեպքերում դուք պետք է դիմեք արմատի արդյունահանման այլ մեթոդների:

Վարչապետի գործոնացում

Արմատը բնական թվից հանելու բավականին հարմար միջոց (բացառությամբ, իհարկե, որ արմատը չի արդյունահանվում) արմատային թիվը վերափոխելն է հիմնական գործոնների: Իր էությունը հետևյալն էքանակը համարը գլխավոր գործոնները վերացնելուց հետո բավականին հեշտ է այն ներկայացնել աստիճանի տեսքով `անհրաժեշտ ցուցիչով, ինչը թույլ է տալիս ստանալ արմատային արժեք: Եկեք բացատրենք այս պահը:

Ենթադրենք, որ nth աստիճանի արմատը հանվում է բնական թվից a, իսկ դրա արժեքը `b: Այս դեպքում a = b n հավասարությունը ճշմարիտ է: B թիվը, ինչպես ցանկացած բնական համար, կարող է ներկայացվել որպես նրա բոլոր հիմնական գործոնների արդյունք: p1, էջ2, ..., էջմ ձևով p1Պ2·… · Էջմ , իսկ արմատական ​​համարը a այս դեպքում ներկայացված է որպես (p1Պ2·… · Էջմ) ն. Քանի որ համարը հիմնական գործոններով տարրալուծումը եզակի է, արմատական ​​համարը a- ի հիմնական գործոնների տարրալուծումը կունենա ձև (p1Պ2·… · Էջմ) n, ինչը հնարավորություն է տալիս հաշվարկել արմատային արժեքը որպես:

Նկատի ունեցեք, որ եթե արմատային համարի հիմնական ֆակտորացումը չի կարող ներկայացվել որպես (p1Պ2·… · Էջմ) n, ապա այս թիվ a- ից n-րդ աստիճանի արմատը ամբողջությամբ չի հանվում:

Մենք դրանով կզբաղվենք օրինակներ լուծելիս:

Քաղեք 144 քառակուսի արմատը:

Եթե ​​անդրադառնանք նախորդ պարբերությունում տրված հրապարակների աղյուսակին, ապա մենք կարող ենք պարզ տեսնել, որ 144 = 12 2, որտեղից պարզ է, որ 144-ի քառակուսի արմատը 12 է:

Բայց այս կետի լույսի ներքո մենք շահագրգռված ենք, թե ինչպես կարելի է արդյունահանել արմատը `արմատական ​​թիվ 144-ը վերածելով հիմնական գործոնների: Մենք վերլուծելու ենք լուծման այս մեթոդը:

144 գործոնը հիմնական գործոնների մեջ.

Այսինքն ՝ 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3: Ելնելով ստացված տարրալուծման հետ բնական էքսպոզիցորի աստիճանի հատկությունների հիման վրա ՝ կարելի է իրականացնել հետևյալ կերպափոխումները. 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2 . Հետևաբար.

Օգտագործելով աստիճանի և արմատների հատկությունները, լուծումը կարող է ձևակերպվել մի փոքր այլ ձևով.

.

Նյութը համախմբելու համար մենք հաշվի ենք առնում ևս երկու օրինակների լուծումները:

Հաշվարկել արմատային արժեքը:

243-րդ արմատական ​​համարի գլխավոր ֆակտորիզացիան ունի 243 = 3 5 ձևը: Այս եղանակով:

.

Արմատային արժեքը ամբողջական է:

Այս հարցին պատասխանելու համար մենք արմատական ​​համարը վերացնում ենք հիմնական գործոններին և տեսնում ենք, թե արդյոք այն կարող է ներկայացվել որպես ամբողջ համարի խորանարդ:

Մենք ունենք 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2: Արդյունքում ընդլայնումը չի ներկայացվում որպես ամբողջ թվով խորանարդ, քանի որ 7-ի գլխավոր գործոնի աստիճանը երեքից մի քանիսը չէ: Հետևաբար, 285.768 համարի խորանարդի արմատն ամբողջությամբ չի արդյունահանվում:

Արմատները դուրս են բերում կոտորակային թվերից

Ժամանակն է պարզել, թե ինչպես կարելի է արմատը արդյունահանել կոտորակային համարից: Թող կոտորակային արմատային թիվը գրվի որպես սովորական բաժին, որպես p / q: Ըստ բաժնետիրոջից արմատից ստացված գույքի ՝ հետևյալ հավասարությունն է: Այս հավասարությունից հետևում է կոտորակը արմատից հանելու կանոնըկոտորակի արմատը հավասար է համարիչի արմատը բաժանորդի արմատին բաժանելու չափին:

Եկեք քննենք կոտորակը արմատից հանելու մի օրինակ:

Ո՞րն է սովորական կոտորակի քառակուսի արմատը 25/169:

Ըստ հրապարակների աղյուսակի, մենք գտնում ենք, որ օրիգինալ ֆրակցիայի համարանիշի քառակուսի արմատը 5 է, իսկ նշանակողի քառակուսի արմատը `13: Հետո: Դրա վրա ավարտվում է արմատից 25/169 սովորական հատվածից արդյունահանումը:

.

Մի տասնորդական կոտորակի կամ խառը թվաքանակի արմատը արդյունահանվում է արմատական ​​համարները սովորական կոտորակներով փոխարինելուց հետո:

Արդյունահանեք խորանարդ արմատը տասնորդական 474,552-ից:

Պատկերացրեք նախնական տասնորդական կոտորակը որպես սովորական կոտորակ `474.552 = 474552/1000: Հետո: Մնում է արդյունահանել ստացված ֆրակցիայի համարիչի և նշանակիչի մեջ տեղակայված խորանարդ արմատները: Քանի որ 474 552 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 = (2 · 3 · 13) 3 = 78 3 և 1 000 = 10 3, ապա: Մնում է միայն հաշվարկներն ավարտին հասցնել:

.

Բացասական թվից արմատ դուրս բերելը

Առանձին-առանձին, արժե անդրադառնալ բացասական թվերից արմատների արդյունահանմանը: Արմատները ուսումնասիրելիս մենք ասացինք, որ երբ արմատային ցուցիչը տարօրինակ թիվ է, ապա բացասական թիվը կարող է լինել արմատային նշանի տակ: Մենք տվել ենք հետևյալ իմաստը այս գրառումներին. Բացասական թվով `ա և տարօրինակ արմատային ցուցիչ 2 · - 1 համար, դա ճիշտ է: Այս հավասարությունը տալիս է կանոն ՝ տարօրինակ աստիճանի արմատները բացասական թվերից հանելու համարարմատը բացասական թվից հանելու համար հարկավոր է արմատը դուրս բերել հակառակ դրական թվից և արդյունքի դիմաց մինուս նշան դնել:

Դիտարկենք մի օրինակ լուծում:

Գտեք արմատային արժեքը:

Մենք վերափոխում ենք բնօրինակ արտահայտությունը, որպեսզի դրական թիվը հայտնվի արմատի նշանի տակ. Այժմ խառը թիվը փոխարինեք սովորական կոտորակով. Մենք կիրառում ենք արմատը ընդհանուր բաժնից հանելու կանոնը. Մնում է հաշվարկել արմատները ստացված մասնաբաժնի համարիչում և նշանակիչում.

Ահա լուծման հակիրճ ամփոփումը. .

.

Գտնելով արմատային արժեքը

Ընդհանուր դեպքում, արմատի տակ կա մի շարք, որոնք, օգտագործելով վերը քննարկված տեխնիկան, չեն կարող ներկայացվել որպես ցանկացած համարի թվով 9-րդ ուժ: Բայց, միևնույն ժամանակ, անհրաժեշտ է իմանալ տվյալ արմատի իմաստը, գոնե մինչև որոշակի նշան: Այս դեպքում արմատը հանելու համար կարող եք օգտագործել ալգորիթմը, ինչը հնարավորություն է տալիս հետևողականորեն ձեռք բերել ցանկալի համարի թվանշանների բավարար քանակ:

Այս ալգորիթմի առաջին քայլում դուք պետք է պարզեք, թե որն է արմատային արժեքի ամենակարևոր բիտը: Դա անելու համար 0, 10, 100, ... թվերը հաջորդաբար բարձրացվում են դեպի ուժի n, մինչև այն պահը, երբ մի թիվ է ձեռք բերվում, որը գերազանցում է արմատական ​​թիվը: Այնուհետև այն թիվը, որը մենք նախորդ քայլում n- ի ուժով բարձրացրեցինք, ցույց կտա համապատասխան ավագ կոչման:

Որպես օրինակ հաշվի առեք ալգորիթմի այս քայլը հինգի քառակուսի արմատը կորզելիս: Մենք վերցնում ենք 0, 10, 100, ... համարները և դրանք հրապարակում, մինչև 5-ով ավելի մեծ թիվ ստանանք: Մենք ունենք 0 2 = 0, 10 2 = 100> 5, ինչը նշանակում է, որ միավորների կատեգորիան կլինի ամենաբարձր ցուցանիշը: Այս կատեգորիայի արժեքը, ինչպես նաև երիտասարդները, կգտնվեն արմատից արդյունահանման ալգորիթմի հաջորդ քայլերում:

Ալգորիթմի հետևյալ բոլոր քայլերը ուղղված են արմատային արժեքի հաջորդական պարզաբանմանը `պայմանավորված այն հանգամանքով, որ գտնված են ցանկալի արմատային արժեքի հաջորդ թվանշանների արժեքները ՝ սկսած ամենահիներից և տեղափոխվելով դեպի ավելի երիտասարդներ: Օրինակ ՝ առաջին քայլում արմատային արժեքը 2 է, երկրորդում ՝ 2.2, երրորդում ՝ 2.23, և այսպես շարունակ ՝ 2.236067977…: Եկեք նկարագրենք, թե ինչպես են հայտնաբերվում թվանշանների արժեքները:

Բացթողումները հայտնաբերվում են ՝ թվարկելով դրանց հնարավոր արժեքները 0, 1, 2, ..., 9: Այս դեպքում զուգահեռ հաշվարկվում են համապատասխան թվերի թվով n ուժերը, և դրանք համեմատվում են արմատական ​​համարի հետ: Եթե ​​ինչ-որ փուլում աստիճանի արժեքը գերազանցում է արմատային թիվը, ապա համարվում է, որ գտվում է նախորդ արժեքին համապատասխանող լիցքաթափման արժեքը, և կատարվում է արմատների արդյունահանման ալգորիթմի հաջորդ քայլի անցում, եթե դա տեղի չի ունենում, ապա այս լիցքաթափման արժեքը 9 է:

Եկեք բացատրենք այս կետերը բոլորը հինգի քառակուսի արմատը արդյունահանելու նույն օրինակով:

Սկզբում մենք գտնում ենք բեռնաթափման միավորների արժեքը: Մենք կկարգավորենք 0, 1, 2, ..., 9 արժեքները, համապատասխանաբար հաշվարկելով 0 2, 1 2, ..., 9 2, մինչև հասնենք 5-րդ արմատական ​​թիվից ավելի մեծ արժեքի: Հարմար է ներկայացնել բոլոր այս հաշվարկները աղյուսակի տեսքով.

Այսպիսով, միավորների կատեգորիայի արժեքը 2 է (2-ից սկսած, իսկ 2 3> 5-ից): Մենք դիմում ենք գտնելու տասներորդ արտանետման արժեքը: При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9 , сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5 :

Так как 2,2 2 , а 2,3 2 >5 , то значение разряда десятых равно 2 . Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. մինչև մենք ստանանք 2151.186-ով գերազանցող թիվ: Մենք ունենք 0 3 = 0, 10 3 = 1 000, 100 3 = 1 000 000> 2 151.186, այսպիսով, ամենաբարձր ցուցանիշը տասնյակների արտահոսքն է:

Սահմանեք դրա արժեքը:

10-ից, իսկ 20 3> 2 151,186-ից ի վեր տասնյակների բեռնաթափման արժեքը 1 է: Մենք անցնում ենք միավորներ:

Այսպիսով, միավորների կատեգորիայի արժեքը 2 է: Մենք անցնում ենք տասներորդին:

Քանի որ նույնիսկ 12.9 3-ը ավելի քիչ է, քան արմատական ​​թիվ 2 151.186, տասներորդ արտանետման արժեքը 9 է: Մնում է լրացնել ալգորիթմի վերջին քայլը, այն մեզ կտա պահանջվող ճշգրտությամբ արմատային արժեքը:

Այս փուլում արմատային արժեքը հայտնաբերվում է հարյուրերորդ ճշգրտությամբ.

Այս հոդվածի վերջում ես ուզում եմ ասել, որ արմատները հանելու շատ այլ եղանակներ կան: Բայց խնդիրների մեծ մասի համար բավարար են դրանք, որոնք մենք ուսումնասիրեցինք վերևում:

Քառակուսի արմատ արդյունահանել քառակուսիների սեղանը

Արմատները հաշվարկելու ամենահեշտ ձևերից մեկն է օգտագործելով հատուկ սեղան. Ի՞նչ է դա և ինչպես ճիշտ օգտագործել:

Աղյուսակը օգտագործելով ՝ կարող եք գտնել ցանկացած համարի հրապարակ 10-ից 99-ը: Միևնույն ժամանակ, տասնյակ արժեքներ գտնվում են սեղանի շարքերում, իսկ ստորաբաժանումները ՝ սյունակներում: Տողի և սյունի խաչմերուկում գտնվող բջիջը պարունակում է երկնիշ համարի քառակուսի: Որպեսզի 63-րդ քառակուսի հաշվարկը կատարելու համար հարկավոր է գտնել 6-րդ և 6-րդ արժեք ունեցող շարասյան տող, 3-րդ արժեք ունեցող սյունակ: Մենք խաչմերուկում գտնում ենք մի բջիջ ՝ 3969 համարով:

Քանի որ արմատի արդյունահանումը քառակուսիի հակառակն է, դա անելու համար դուք պետք է ճիշտ հակառակն անեք. Նախ գտնեք բջիջը այն համարով, որի ռադիկալը պետք է հաշվել, ապա որոշեք պատասխանը `օգտագործելով սյունակի և տողի արժեքները: Որպես օրինակ հաշվի առեք 169-ի քառակուսի արմատը հաշվարկելը:

Այս թվով բջիջը մենք գտնում ենք աղյուսակում, որոշում ենք տասնյակ - 1 հորիզոնական, իսկ ուղղահայացը `3: Պատասխան ՝ 169 = 13:

Նմանապես, կարող եք հաշվարկել խորանարդ և نهերորդ աստիճանի արմատները ՝ օգտագործելով համապատասխան աղյուսակները:

Մեթոդի առավելությունը դրա պարզությունն է և լրացուցիչ հաշվարկների բացակայությունը: Թերություններն ակնհայտ են. Մեթոդը կարող է օգտագործվել միայն սահմանափակ թվով թվերի համար (համարը, որի համար գտնվում է արմատը, պետք է լինի 100-ից 9801 միջակայքում): Բացի այդ, այն չի գործի, եթե նշված համարը նշված չէ աղյուսակում:

Ֆակտորիզացիա

Եթե ​​հրապարակների սեղանը ձեռքի տակ չէ, կամ դրա օգնությամբ անհնար էր գտնել արմատը, ապա կարող եք փորձել Արմատի տակ գտնվող թիվը վերածեք հիմնական գործոնների. Պարզ գործոններն այն գործոններն են, որոնք կարող են ամբողջովին (առանց մնացորդի) բաժանվել միայն իրենց կողմից կամ մեկով: Օրինակները կարող են լինել 2, 3, 5, 7, 11, 13 և այլն:

Դիտարկենք արմատի հաշվարկը ՝ օգտագործելով 76576 օրինակը: Մենք այն տարրալուծում ենք որպես հիմնական գործոններ: Ստանում ենք հետևյալ արդյունքը. 76576 = √ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √ (2 ∙ 2 ∙ 2) ² ∙ √3²: Օգտագործելով roota² = a հիմնական արմատային հատկությունը, մենք ազատվենք արմատներից և հրապարակներից, որից հետո մենք հաշվարկում ենք պատասխանը ՝ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24:

Ի՞նչ անել, եթե գործոններից մեկը չունի իր զույգը: Օրինակ, հաշվի առեք 454-ի հաշվարկը: Ֆակտորինգից հետո արդյունքը ստանում ենք հետևյալ կերպ. √54 = √ (2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √ (2 ∙ 3) = 3√6: Ոչ արդյունահանվող մասը կարելի է թողնել արմատի տակ: Երկրաչափության և հանրահաշվության խնդիրների մեծ մասի համար այս պատասխանը համարվելու է վերջնական: Բայց եթե մոտավոր արժեքները հաշվարկելու անհրաժեշտություն կա, կարող եք օգտագործել այն մեթոդները, որոնք կքննարկվեն ավելի ուշ:

Հերոնի մեթոդը

Ի՞նչ անել, երբ անհրաժեշտ է գոնե մոտավորապես իմանալ, թե արդյունահանված արմատն ինչին է հավասար (եթե անհնար է ամբողջական թիվը ստանալ): Heron մեթոդի օգտագործումը տալիս է արագ և բավականին ճշգրիտ արդյունք. Դրա էությունը մոտավոր բանաձև օգտագործելն է.

որտեղ R- ն այն թիվն է, որի արմատը պետք է հաշվարկվի, a- ն ամենամոտ համարն է, որի արմատային արժեքը հայտնի է:

Մտածեք, թե ինչպես է մեթոդը գործում գործնականում և գնահատեք, թե որքանով է ճիշտ: Մենք հաշվարկում ենք, թե what111-ն ինչին է հավասար: 111-ի ամենամոտ համարը, որի արմատը հայտնի է, 121 է: Այսպիսով, R = 111, a = 121. Մենք արժեքները փոխարինում ենք բանաձևով.

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Այժմ ստուգեք մեթոդի ճշգրտությունը:

Մեթոդի սխալը մոտավորապես 0,3 էր: Եթե ​​մեթոդի ճշգրտությունը պետք է բարելավվի, կարող եք կրկնել նախկինում նկարագրված քայլերը.

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Ստուգեք հաշվարկի ճշգրտությունը.

Բանաձևի կրկնակի օգտագործումից հետո սխալը դարձավ շատ աննշան:

Արմատը հաշվարկվում է ըստ սյունակի

Քառակուսի արմատային արժեքը գտնելու այս մեթոդը մի փոքր ավելի բարդ է, քան նախորդները: Այնուամենայնիվ, առանց հաշվիչի այլ հաշվարկման մեթոդների մեջ այն առավել ճշգրիտ է:.

Ենթադրենք, որ անհրաժեշտ է գտնել քառակուսի արմատը 4 տասնորդական վայրի ճշգրտությամբ: Եկեք վերլուծենք հաշվարկման ալգորիթմը `օգտագործելով կամայական համարը 1308.1912:

  1. Թղթի թերթիկը երկու մասի բաժանեք ուղղահայաց գծով, ապա դրանից մեկ այլ գիծ նկարեք աջից ՝ վերին եզրից մի փոքր ցածր: Գրեք համարը ձախ կողմում, բաժանելով այն 2 թվանշանների խմբերի, շարժվելով ստորակետի աջ և ձախ կողմում: Ձախից առաջին առաջին նիշը կարող է լինել առանց զույգի: Եթե ​​նշանը բավարար չէ համարի աջ մասում, ապա դուք պետք է ավելացնեք 0. Մեր դեպքում մենք ստանում ենք 13 08.19 12:
  2. Մենք ընտրում ենք ամենամեծ թիվը, որի քառակուսին թվերի առաջին խմբից պակաս կամ հավասար կլինի: Մեր դեպքում սա 3 է: Մենք այն գրում ենք վերին աջում, 3-ը արդյունքի առաջին թվանշանն է: Մենք ներքևի աջ մասում նշում ենք 3 × 3 = 9, դա անհրաժեշտ կլինի հետագա հաշվարկների համար: 9-ը սյունակում իջեցնելով 9-ը, մենք ստանում ենք մնացած 4-ը:
  3. Հաջորդ զույգ համարները մենք հանձնում ենք 4-ի մնացած մասը, մենք ստանում ենք 408:
  4. Վերևի մասում բազմապատկեք թիվը 2-ով և գրեք ներքևի աջ մասում ՝ դրան ավելացնելով _ x _ =: Մենք ստանում ենք 6_ x _ =:
  5. Կտրուկների փոխարեն, դուք պետք է փոխարինեք նույն թիվը 408-ից պակաս կամ հավասար: Մենք ստանում ենք 66 × 6 = 396: Վերևից աջ գրեք 6-ը, քանի որ սա արդյունքի երկրորդ նիշ է: 408-ից հանեք 396-ը և ստացեք 12-ը:
  6. Կրկնել 3-6 քայլերը: Քանի որ ներքևում պահված համարները համարի կոտորակի մասում են, 6.-ից հետո անհրաժեշտ է տասնորդական կետը դնել վերևի աջ մասում. Գրեք կրկնապատկված արդյունքը բշտիկներով. 72_ x _ =: Համապատասխան ցուցանիշը կլինի 1: 721 × 1 = 721: Մենք գրում ենք այն ի պատասխան: Ենթակետը 1219 - 721 = 498:
  7. Մենք հետևում ենք նախորդ կետում տրված քայլերի հաջորդականությանը ևս երեք անգամ ՝ տասնորդական վայրերի պահանջվող քանակը ստանալու համար: Եթե ​​հետագա հաշվարկների համար բավարար նշաններ չկան, ապա ձախից պետք է ավելացվի երկու զրո:

Որպես արդյունք ՝ ստանում ենք պատասխան ՝ 301308.1912 ≈ 36.1689: Եթե ​​հաշվարկը ստուգեք գործողությունը, կարող եք համոզվել, որ բոլոր նշանները ճիշտ են հայտնաբերվել:

Քառակուսի արմատային արժեքի սահուն հաշվարկ

Մեթոդը խիստ ճշգրիտ է:. Բացի այդ, դա բավականաչափ հասկանալի է, և դա չի պահանջում անգիր բանաձևեր կամ գործողությունների բարդ ալգորիթմ, քանի որ մեթոդի էությունը ճիշտ արդյունքի ընտրությունն է:

Մենք արմատը քաղում ենք 781 թվից: Մենք մանրամասն քննարկում ենք գործողությունների հաջորդականությունը:

Pin
Send
Share
Send
Send